Дано:
Монета бросается 3 раза.
Каждый раз есть 2 исхода: орел (1) и решка (0).
Вероятность выпадения орла P(орел) = 0,5.
Вероятность выпадения решки P(решка) = 0,5.
Найти:
Математическое ожидание числа выпавших орлов E(X).
Решение:
1. Обозначим случайную величину X как число выпавших орлов.
X может принимать значения 0, 1, 2 или 3.
2. Найдем вероятность для каждого значения X, используя биномиальное распределение:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), где n = 3, p = 0,5.
3. Найдем вероятности:
- P(X = 0) = C(3, 0) * (0,5)^0 * (0,5)^3 = 1 * 1 * 0,125 = 0,125.
- P(X = 1) = C(3, 1) * (0,5)^1 * (0,5)^2 = 3 * 0,5 * 0,25 = 0,375.
- P(X = 2) = C(3, 2) * (0,5)^2 * (0,5)^1 = 3 * 0,25 * 0,5 = 0,375.
- P(X = 3) = C(3, 3) * (0,5)^3 * (0,5)^0 = 1 * 0,125 * 1 = 0,125.
4. Теперь у нас есть вероятности:
- P(X = 0) = 0,125,
- P(X = 1) = 0,375,
- P(X = 2) = 0,375,
- P(X = 3) = 0,125.
5. Вычислим математическое ожидание:
E(X) = 0 * P(X = 0) + 1 * P(X = 1) + 2 * P(X = 2) + 3 * P(X = 3).
6. Подставим значения:
E(X) = 0 * 0,125 + 1 * 0,375 + 2 * 0,375 + 3 * 0,125.
7. Посчитаем каждое произведение:
0 * 0,125 = 0,
1 * 0,375 = 0,375,
2 * 0,375 = 0,75,
3 * 0,125 = 0,375.
8. Сложим результаты:
E(X) = 0 + 0,375 + 0,75 + 0,375 = 1,5.
Ответ:
Математическое ожидание числа выпавших орлов при 3 бросках монеты равно 1,5.