Question

Иван Сергеевич обнаружил, что новогодняя гирлянда не горит — перегорела какая-то одна из 10 лампочек. Иван Сергеевич проверяет лампочки по очереди до тех пор, пока не поймёт, какая лампочка перегорела. Считая, что лампочки одинаковы и перегорают независимо друг от друга с равными шансами, найдите математическое ожидание числа лампочек, которые проверит Иван Сергеевич.

Answer 1

Дано:
- Количество лампочек N = 10
- Вероятность того, что каждая лампочка перегорела p = 1/10

Найти:
Математическое ожидание числа лампочек, которые проверит Иван Сергеевич.

Решение:

Обозначим случайную величину X как число лампочек, которые проверит Иван Сергеевич.

Так как лампочки проверяются по очереди и вероятность перегоревшей лампочки равномерно распределена, математическое ожидание E(X) можно рассчитать следующим образом:

E(X) = Σ (i * P(X = i)), где i - номер лампочки, которую проверяют, а P(X = i) - вероятность того, что именно i-я лампочка перегорела.

Вероятность того, что перегорела i-я лампочка и все предыдущие не перегорели равна (9/10)^(i-1) * (1/10).

Следовательно, мы можем выразить математическое ожидание:

E(X) = Σ (i * (9/10)^(i-1) * (1/10)), где сумма берется от i=1 до i=10.

Теперь посчитаем сумму:

E(X) = (1/10) * Σ (i * (9/10)^(i-1)), где сумма берется от i=1 до i=10.

Сумма Σ (i * a^(i-1)) для a = 9/10 может быть найдена по формуле:

Σ (i * x^(i-1)) = x/(1-x)^2, где x = 9/10.

Таким образом,

Σ (i * (9/10)^(i-1)) = (9/10) / (1 - 9/10)^2 = (9/10) / (1/10)^2 = 90.

Теперь подставляем в формулу:

E(X) = (1/10) * 90 = 9.

Ответ:
Математическое ожидание числа лампочек, которые проверит Иван Сергеевич, равно 9.