Дано:
- n = 50 (число лампочек в гирлянде).
Найти:
Математическое ожидание числа проверок, которые сделает Сергей Владимирович до того момента, как поймёт, какая именно лампочка перегорела.
Решение:
1. Обозначим случайную величину X как количество проверок, которые сделает Сергей Владимирович до того, как обнаружит перегоревшую лампочку.
2. Каждая лампочка может перегореть с одинаковой вероятностью 1/n, где n = 50. Если перегорела i-я лампочка, то она будет обнаружена только после проверки первых i-1 лампочек и проверки i-й лампочки.
3. Вероятность того, что перегорела i-я лампочка, равна 1/50.
4. Математическое ожидание X можно вычислить следующим образом:
E(X) = Σ (k * P(X = k)), где k – количество проверок.
Поскольку для каждой лампочки i (где i = 1, 2, ..., 50) потребуется i проверок, то
E(X) = (1/50) * (1 + 2 + 3 + ... + 50).
5. Сумма первых n натуральных чисел:
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2.
В нашем случае:
1 + 2 + 3 + ... + 50 = 50 * (50 + 1) / 2 = 50 * 51 / 2 = 1275.
6. Подставим это значение в формулу для E(X):
E(X) = (1/50) * 1275 = 25.5.
Ответ:
Математическое ожидание числа проверок, которые сделает Сергей Владимирович до того момента, как поймёт, какая именно лампочка перегорела, равно 25.5.