Question

На новогодний вечер по случаю наступающего 1912 года в доме генерал-губернатора собралось п приглашённых детей, и каждый пришёл со своим гостинцем (конфета, пряник, халва, орех в золотистой обёртке и т. п.). По обычаю тех лет все гостинцы были повешены на ёлку, а в конце вечера состоялся розыгрыш — каждому достался случайно выбранный гостинец. Какое следует ожидать число детей, получивших свой собственный гостинец?

Answer 1

Дано:
- Количество приглашённых детей p.

Найти:
Математическое ожидание числа детей, получивших свой собственный гостинец.

Решение:

Обозначим случайную величину Xi как индикатор того, получил ли i-й ребёнок свой собственный гостинец (Xi = 1, если получил, и Xi = 0, если не получил).

Математическое ожидание E(Xi) можно найти следующим образом:

P(Xi = 1) = 1 / p, так как каждый ребёнок имеет равные шансы получить любой из p гостинцев.

Теперь найдем общее математическое ожидание E(S) для всех детей, где S = X1 + X2 + ... + Xp:

E(S) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xp)
      = p * P(Xi = 1)
      = p * (1 / p)
      = 1.

Ответ:
Ожидаемое число детей, получивших свой собственный гостинец, равно 1.