Дано:
- Количество потраченных патронов = 8.
- Вероятность поражения мишени p = 0.4.
- Максимальное количество выстрелов на каждую мишень = 2.
Найти:
а) Наименьшее и наибольшее число мишеней, которые биатлонист мог поразить.
б) Вероятность того, что биатлонист поразил к мишеней.
в) Математическое ожидание числа поражённых мишеней.
Решение:
а)
1. Наименьшее число мишеней:
Если биатлонист сделал 8 выстрелов и только промахнулся, то он мог поразить максимум одну мишень, используя 2 патрона на неё. В этом случае он мог бы потратить 6 патронов на 3 мишени, но не поразить их, т.е. 1 мишень.
Следовательно, наименьшее число мишеней, которые он мог поразить = 1.
2. Наибольшее число мишеней:
Если биатлонист использовал 2 патрона на 4 мишени (по 2 выстрела, чтобы попасть), то он мог поразить 4 мишени и потратить 8 патронов.
Следовательно, наибольшее число мишеней, которые он мог поразить = 4.
Ответ:
Наименьшее число мишеней = 1, наибольшее число мишеней = 4.
б)
Вероятность того, что биатлонист поразил k мишеней можно рассчитать, используя биномиальное распределение.
1. Рассмотрим количество выстрелов n = 8. Вероятности:
- Для каждой мишени:
- Вероятность поразить её с 1 выстрелом = p = 0.4.
- Вероятность поразить её с 2 выстрелами = p^2 = 0.16.
- Вероятность промаха = (1-p)^2 = 0.36.
2. Обозначим k как количество поражённых мишеней. Тогда вероятность P(k) для k мишеней будет равна:
P(k) = C(n,k) * (p^2)^k * (1 - p^2)^(n-k)
где n = 4 (мишиная группа, так как 8 патронов).
Теперь подставляем значения и считаем.
3. Пример для k = 3:
P(3) = C(4,3) * (0.16)^3 * (0.84)^(4-3) = 4 * 0.004096 * 0.84 ≈ 0.0139.
Ответ:
Вероятность того, что биатлонист поразил k мишеней варьируется в зависимости от k; например, для k = 3 приблизительно 0.0139.
в)
Математическое ожидание числа поражённых мишеней при 8 потраченных патронах вычисляется через количество мишеней.
1. Как мы уже обсуждали, вероятность поразить одну мишень = p = 0.4 при использовании 2 патронов на неё.
2. В среднем, число поражённых мишеней E может быть вычислено следующим образом:
E = n * p = 5 * 0.4 = 2.
Или можно использовать известное значение p при условии 2 патронов:
E(total) = 8 * (число успешных выстрелов / общее количество выстрелов) = 8 * (0.4) = 3.2.
Ответ:
Математическое ожидание числа поражённых мишеней составляет 3.2.