Дано:
- Игральная кость имеет 6 граней.
- Кость бросают 6 раз.
Найти:
- Математическое ожидание числа граней, которые не выпали ни разу.
Решение:
1. Обозначим количество граней, которые не выпали, как X. Каждая грань может не выпасть при каждом броске кости.
2. Для каждой грани i (где i = 1, 2, 3, 4, 5, 6), вероятность того, что она не выпала ни разу за 6 бросков, равна:
P(грани i не выпасть) = (5/6)^6
Это происходит потому, что в каждом броске есть 5 способов не получить эту грань (из 6 возможных).
3. Математическое ожидание числа граней, которые не выпали, можно найти, используя линейность математического ожидания:
E(X) = E(X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6)
Здесь Xj – индикаторная случайная величина, которая равна 1, если грань j не выпала ни разу, и 0 в противном случае.
4. Таким образом, E(Xj) = P(грани j не выпасть) = (5/6)^6.
5. Поскольку таких граней 6, получаем:
E(X) = 6 * E(Xj) = 6 * (5/6)^6.
6. Теперь подставим значение:
E(X) = 6 * (5/6)^6 = 6 * (15625 / 46656).
7. Вычислим:
E(X) ≈ 6 * 0.335 = 2.01 (округляя).
Ответ:
Математическое ожидание числа граней, которые ни разу не выпали, приблизительно равно 2.01.