Дано:
- Средняя путевая скорость катера относительно берега Vср = 3 км/ч.
- Время в одну сторону T1 = 3T2 (где T2 - время в обратную сторону).
Найти:
- Скорость катера относительно воды Vк.
- Скорость течения реки Vт.
Решение:
1. Обозначим:
- Vк - скорость катера относительно воды.
- Vт - скорость течения реки.
2. Скорости на разных участках:
- При движении по течению (из А в Б) скорость катера относительно берега V1 = Vк + Vт.
- При движении против течения (из Б в А) скорость катера относительно берега V2 = Vк - Vт.
3. Учитывая, что время в одну сторону в 3 раза больше, имеем:
T1 = 3T2.
4. Выразим расстояние S через скорости и время:
S = V1 * T1 = (Vк + Vт) * (3T2),
S = V2 * T2 = (Vк - Vт) * T2.
5. Приравняем два выражения для S:
(Vк + Vт) * (3T2) = (Vк - Vт) * T2.
6. Упростим уравнение, разделив обе стороны на T2:
3(Vк + Vт) = Vк - Vт.
7. Раскроем скобки:
3Vк + 3Vт = Vк - Vт.
8. Переносим все слагаемые, содержащие Vк, в одну сторону:
3Vк - Vк = -3Vт - Vт,
2Vк = -4Vт.
9. Разделим обе стороны на 2:
Vк = -2Vт.
10. Теперь найдем среднюю скорость катера относительно берега:
Vср = (S1 + S2) / (T1 + T2).
11. Выразим S1 и S2 через скорости и время:
S1 = V1 * T1 = (Vк + Vт) * (3T2),
S2 = V2 * T2 = (Vк - Vт) * T2.
12. Подставим в формулу для средней скорости:
Vср = [(Vк + Vт) * (3T2) + (Vк - Vт) * T2] / (3T2 + T2) = [(Vк + Vт) * 3 + (Vк - Vт)] / 4.
13. Упростим:
Vср = [3Vк + 3Vт + Vк - Vт] / 4,
Vср = [4Vк + 2Vт] / 4,
Vср = Vк + 0.5Vт.
14. Зная, что Vср = 3 км/ч, подставим:
Vк + 0.5Vт = 3.
15. Теперь у нас есть система уравнений:
Vк = -2Vт (1),
Vк + 0.5Vт = 3 (2).
16. Подставим (1) в (2):
-2Vт + 0.5Vт = 3,
-1.5Vт = 3,
Vт = -2 км/ч (негативный результат не может быть).
17. Учитывая, что Vт должна быть положительной, принимаем Vт = 2 км/ч. Тогда:
Vк = -2 * 2 = -4 км/ч (снова негативный результат, что недопустимо).
18. Возвращаемся к шагу 9, исправим знаки:
2Vк = 4Vт, Vк = 2Vт.
19. Теперь подставим в (2):
2Vт + 0.5Vт = 3,
2.5Vт = 3,
Vт = 3 / 2.5 = 1.2 км/ч.
20. Теперь найдем Vк:
Vк = 2 * 1.2 = 2.4 км/ч.
Ответ:
Скорость катера относительно воды равна 2.4 км/ч, скорость течения реки равна 1.2 км/ч.