Дано:
Ширина реки: L = 400 м
Скорость течения реки: v = 0,6u (где u — скорость лодки относительно воды)
Найти: У кого ушло больше времени на путешествие и во сколько раз больше.
Решение:
1. Определим скорость лодки относительно воды как u. Скорость лодки с течением: u + v = u + 0,6u = 1,6u. Скорость лодки против течения: u - v = u - 0,6u = 0,4u.
2. Рассмотрим Антона. Он плывет 400 м вдоль берега, а затем возвращается обратно. Путь, который он проплывает, составляет 800 м.
Время, потраченное Антоном на путь вдоль берега: t1 = 400 / (u + v) = 400 / (1,6u).
Время, потраченное Антоном на путь обратно: t2 = 400 / (u - v) = 400 / (0,4u).
Общее время Антона: T_A = t1 + t2 = 400 / (1,6u) + 400 / (0,4u).
Приведем к общему знаменателю:
T_A = (400 * 0,4 + 400 * 1,6) / (0,64u) = (160 + 400) / (0,64u) = 560 / (0,64u) = 875 / u.
3. Теперь рассмотрим Бориса. Он доплывает до точки напротив начальной точки и возвращается обратно.
Сначала он плывет по диагонали через реку. Расстояние, которое он проплывает, можно определить с помощью теоремы Пифагора:
D = sqrt(L^2 + (400^2)) = sqrt(400^2 + 400^2) = sqrt(320000) = 400sqrt(2).
Теперь найдем время Бориса на переправу. Он плывет по диагонали, поэтому его скорость равна:
V_B = sqrt((u + v)^2 + v^2) = sqrt((1,6u)^2 + (0,6u)^2) = sqrt(2,56u^2 + 0,36u^2) = sqrt(2,92u^2) = sqrt(2,92) * u.
Время Бориса на путь в одну сторону: t_B = D / V_B = (400sqrt(2)) / (sqrt(2,92) * u).
Общее время Бориса: T_B = 2 * t_B = 2 * (400sqrt(2) / (sqrt(2,92) * u)) = (800sqrt(2) / (sqrt(2,92) * u)).
4. Сравним времена T_A и T_B:
T_A = 875 / u
T_B = 800sqrt(2) / (sqrt(2,92) * u).
Чтобы определить, у кого больше времени, сравним:
875 / u и 800sqrt(2) / (sqrt(2,92) * u).
Сравниваем 875 и 800sqrt(2) / sqrt(2,92):
800sqrt(2) = 800 * 1,414 = 1131,2
sqrt(2,92) = sqrt(2 * 1,46) = sqrt(2,92) ≈ 1,707.
Теперь найдем:
800sqrt(2) / sqrt(2,92) ≈ 1131,2 / 1,707 ≈ 662,5.
Сравниваем 875 и 662,5.
875 > 662,5, значит Антон потратил больше времени.
Теперь найдем, во сколько раз больше времени:
Отношение:
875 / 662,5 ≈ 1,32.
Ответ:
Антон потратил больше времени. Он потратил в 1,32 раза больше времени, чем Борис.