Дано:
- длина начального участка пути: S
- время, за которое шарик проходит начальный участок пути: t1
- время, за которое шарик проходит конечный участок пути: t2
Найти:
высоту H, с которой падает шарик.
Решение:
1. Для свободного падения расстояние, пройденное телом, можно выразить формулой:
S = (g * t^2) / 2, где g - ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с^2).
2. Для первого участка пути (за время t1):
S = (g * t1^2) / 2.
3. Для второго участка пути (за время t2):
S = (g * (t1 + t2)^2) / 2 - (g * t1^2) / 2.
Это выражает, что второй участок пути - это разница между расстоянием, пройденным за время (t1 + t2) и временем t1.
4. Сравнивая оба выражения для S:
(g * t1^2) / 2 = (g * (t1 + t2)^2) / 2 - (g * t1^2) / 2.
Сокращаем g и делим обе стороны на 2:
t1^2 = (t1 + t2)^2 - t1^2.
5. Упрощаем:
2 * t1^2 = (t1 + t2)^2.
Раскроем скобки:
2 * t1^2 = t1^2 + 2 * t1 * t2 + t2^2.
6. Переносим все на одну сторону:
0 = -t1^2 - 2 * t1 * t2 + t2^2.
Упрощаем:
t1^2 + 2 * t1 * t2 - t2^2 = 0.
7. Решим это квадратное уравнение по t1:
t1 = (-2 * t2 ± sqrt((2 * t2)^2 - 4 * 1 * (-t2^2))) / (2 * 1).
t1 = (-2 * t2 ± sqrt(4 * t2^2 + 4 * t2^2)) / 2.
t1 = (-2 * t2 ± sqrt(8 * t2^2)) / 2.
t1 = (-2 * t2 ± 2 * sqrt(2) * t2) / 2.
t1 = -t2 ± sqrt(2) * t2.
Оставляем положительное значение:
t1 = (-1 + sqrt(2)) * t2.
8. Теперь находим высоту H. Используем формулу для высоты:
H = (g * (t1 + t2)^2) / 2.
Подставляем t1:
H = (g * ((-1 + sqrt(2)) * t2 + t2)^2) / 2.
H = (g * (sqrt(2) * t2)^2) / 2.
H = (g * 2 * t2^2) / 2.
H = g * t2^2.
Ответ:
Высота H, с которой падает шарик, равна g * t2^2.