Дано:
- высота цилиндра H (м)
- глубина h (м), на которой сделано отверстие
Найти:
- высота h, чтобы дальность полета струи воды была максимальной
- максимальная дальность струи воды
Решение:
1. Начальная скорость струи воды, выходящей из отверстия, равна v = √(2gh), где g - ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²).
2. Дальность полета струи воды определяется формулой: R = v * t, где t - время полета.
3. Время полета можно найти, учитывая, что струя воды будет падать с высоты h. Для этого используем формулу движения с постоянным ускорением:
h = (1/2) * g * t².
Отсюда можно выразить t:
t = √(2h/g).
4. Подставим значение t в формулу для R:
R = v * t = √(2gh) * √(2h/g) = √(2gh) * √(2) * √(h/g) = 2h * √(h/g).
5. Теперь выразим R в зависимости от h:
R(h) = 2h * √(h/g).
6. Чтобы найти максимальную дальность R, необходимо найти производную R(h) и приравнять её к нулю. Найдем производную R(h):
R'(h) = 2√(h/g) + 2h * (1/(2√(h))) * (1/g) = 2√(h/g) + (h/g) * (1/√(h)).
7. Приравняем R'(h) к нулю и решим уравнение:
2√(h/g) - (1/√(h)) * (h/g) = 0.
Упростим:
2h - h/g = 0.
2h = h/g.
8. Теперь выразим h:
g = 2,
h = H/3.
9. Дальше подставим h в формулу R:
R = 2(H/3) * √((H/3)/g) = (2H/3) * √(H/(3g)).
10. Подставим значения g (9.81 м/с²) и H (в метрах) для вычисления максимальной дальности.
Ответ:
Наибольшая дальность полета струи будет достигнута на высоте h = H/3, а максимальная дальность R = (2H/3) * √(H/(3g)).