дано:
- средняя плотность планеты ρ = ρ_Земли
- радиус планеты R = R_Земли / 2
- радиус Земли R_Земли = 6.371 * 10^6 м (примерное значение)
- гравитационная постоянная G = 6.674 * 10^-11 Н·м²/кг²
найти:
первая космическая скорость v_1
решение:
1. Первая космическая скорость v_1 определяется по формуле:
v_1 = √(g * R).
2. Сначала найдем ускорение свободного падения g на поверхности планеты. Ускорение свободного падения выражается через массу планеты и радиус:
g = G * M / R^2.
3. Масса планеты M можно выразить через её объем и плотность ρ:
M = V * ρ = (4/3) * π * R^3 * ρ.
4. Подставим это выражение для M в формулу для g:
g = G * [(4/3) * π * R^3 * ρ] / R^2.
5. Упрощаем выражение:
g = G * (4/3) * π * ρ * R.
6. Подставляем значение радиуса планеты:
R = R_Земли / 2, тогда:
g = G * (4/3) * π * ρ * (R_Земли / 2) = (G * (4/3) * π * ρ * R_Земли) / 2.
7. Теперь подставим это значение g в уравнение для первой космической скорости:
v_1 = √[(G * (4/3) * π * ρ * R_Земли) / 2].
8. Известно, что плотность планеты равна плотности Земли, так что ее можно заменить:
v_1 = √[(G * (4/3) * π * ρ_Земли * R_Земли) / 2].
9. Поскольку G * (4/3) * π * ρ_Земли * R_Земли равна g_Земли * R_Земли, где g_Земли - ускорение свободного падения на Земле (примерно 9.81 м/с²):
v_1 = √(g_Земли * R_Земли / 2).
10. Теперь подставим известные значения: g_Земли = 9.81 м/с² и R_Земли = 6.371 * 10^6 м:
v_1 = √(9.81 * (6.371 * 10^6) / 2).
11. Вычислим:
v_1 = √(9.81 * 3.1855 * 10^6) ≈ √(3.128 * 10^7) ≈ 5580 м/с.
ответ:
Первая космическая скорость для этой планеты примерно равна 5580 м/с.