дано:
- радиус планеты R = k * R_Земли
- расстояние, пройденное телом на новой планете, в n раз больше расстояния, пройденного телом на Земле
найти:
отношение средней плотности планеты к средней плотности Земли (ρ / ρ_Земли)
решение:
1. Ускорение свободного падения g на планете можно выразить через массу планеты M и радиус R:
g = G * M / R^2.
2. Масса планеты M можно выразить как:
M = ρ * V = ρ * (4/3) * π * R^3.
3. Подставляя значение массы в выражение для g:
g = G * (ρ * (4/3) * π * R^3) / R^2,
где R = k * R_Земли.
4. Упростим выражение для g на планете:
g = G * ρ * (4/3) * π * (k * R_Земли)^3 / (k * R_Земли)^2
= G * ρ * (4/3) * π * k^3 * R_Земли^3 / (k^2 * R_Земли^2)
= G * ρ * (4/3) * π * k * R_Земли.
5. Ускорение свободного падения g_Земли на Земле:
g_Земли = G * ρ_Земли * (4/3) * π * R_Земли.
6. Теперь сравним два ускорения свободного падения:
g / g_Земли = (G * ρ * (4/3) * π * k * R_Земли) / (G * ρ_Земли * (4/3) * π * R_Земли)
= (ρ * k) / ρ_Земли.
7. Теперь найдем расстояние, которое проходит тело за время t:
s = (1/2) * g * t^2 для планеты,
s_Земли = (1/2) * g_Земли * t^2 для Земли.
8. По условию задачи мы знаем, что s = n * s_Земли, следовательно:
(1/2) * g * t^2 = n * (1/2) * g_Земли * t^2.
9. Упрощая уравнение, получаем:
g = n * g_Земли.
10. Подставим выражения для g и g_Земли:
(ρ * k) / ρ_Земли = n.
11. Теперь найдем отношение средней плотности планеты к средней плотности Земли:
ρ / ρ_Земли = n / k.
ответ:
Отношение средней плотности планеты к средней плотности Земли равно ρ / ρ_Земли = n / k.