Конус с углом при вершине 2а вращается с угловой скоростью со вокруг своей вертикальной оси. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса на расстоянии L от вершины покоится (относительно конуса) небольшая шайба. Чему может быть равен коэффициент трения u между шайбой и конусом?
от

1 Ответ

Дано:
- угол при вершине конуса 2a,
- угловая скорость ω,
- расстояние от вершины до шайбы L.

Найти:
коэффициент трения u между шайбой и конусом.

Решение:

Сначала определим радиус r, на котором находится шайба. Радиус можно выразить через высоту L и угол a:

r = L * tan(a).

На шайбу действуют следующие силы:
1. Сила тяжести F_g = m * g,
2. Нормальная сила N,
3. Сила трения F_t = u * N.

В условиях равновесия по направлению к центру вращения (радиально):

F_t = m * a_c,

где a_c - центростремительное ускорение, которое равно:

a_c = ω² * r.

Таким образом, уравнение для силы трения можно записать как:

u * N = m * (ω² * r).

Теперь найдём нормальную силу N. Нормальная сила будет равна проекции силы тяжести на нормаль к поверхности конуса:

N = F_g * cos(α) = m * g * cos(a).

Подставим это значение в уравнение для силы трения:

u * (m * g * cos(a)) = m * (ω² * r).

Упрощая, получаем:

u * g * cos(a) = ω² * r.

Теперь подставим выражение для радиуса r:

u * g * cos(a) = ω² * (L * tan(a)).

Упростим уравнение и выразим коэффициент трения u:

u = (ω² * L * tan(a)) / (g * cos(a)).

Так как tan(a) = sin(a) / cos(a), то можем переписать:

u = (ω² * L * sin(a)) / (g * cos²(a)).

Ответ:
Коэффициент трения u между шайбой и конусом может быть равен (ω² * L * sin(a)) / (g * cos²(a)).
от