Question

Полый конус с углом при вершине 2α вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. Вершина конуса обращена вверх. На внешней поверхности конуса находится небольшая шайба. При каком минимальном коэффициенте трения шайба будет неподвижна относительно конуса на расстоянии L от вершины конуса? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на шайбу.

Answer 1

Дано: угол при вершине конуса 2α, угловая скорость вращения ω, расстояние от вершины конуса до шайбы L.

Найти: минимальный коэффициент трения, при котором шайба будет неподвижна относительно конуса на расстоянии L от вершины.

Решение:

Силы, действующие на шайбу:
1. Сила тяжести m*g
2. Сила реакции опоры N
3. Сила трения f

Сила реакции опоры N равна проекции силы тяжести на ось, перпендикулярную поверхности конуса направленную к центру конуса:
N = m*g*cos(α)

Сила трения f равна произведению коэффициента трения μ на силу реакции опоры:
f = μ*N = μ*m*g*cos(α)

Так как шайба неподвижна относительно конуса, то равнодействующая сил, направленная по радиусу конуса, должна равняться нулю:
m*r*ω^2 = μ*m*g*cos(α)

где r - радиус окружности, по которой движется шайба на поверхности конуса, равный L*sin(α).

Подставляем значение r, выраженное через L и sin(α), и находим минимальный коэффициент трения μ:

L*sin(α)*ω^2 = μ*g*cos(α)

μ = L*sin(α)*ω^2 / (g*cos(α))

Ответ: минимальный коэффициент трения, при котором шайба будет неподвижна относительно конуса на расстоянии L от вершины, равен μ = L*sin(α)*ω^2 / (g*cos(α))