Дано:
- масса шара (m1) = 300 г = 0,3 кг
- масса пули (m2) = 10 г = 0,01 кг
- длина нити (L) = 1 м
- ускорение свободного падения (g) = 9,81 м/с²
Найти:
1. Минимальную скорость пули (v), необходимую для того, чтобы шар с застрявшей в нем пулей совершил полный оборот в вертикальной плоскости.
Решение:
1. После попадания пули в шар, система будет двигаться как единое тело. Общая масса системы (M):
M = m1 + m2 = 0,3 кг + 0,01 кг = 0,31 кг.
2. Для успешного завершения полного оборота в вертикальной плоскости в верхней точке движения сила натяжения нити должна быть неотрицательной. В верхней точке на систему действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити.
3. В верхней точке у нас есть следующее уравнение:
T + Mg = Ma_c,
где T - сила натяжения, Mg - сила тяжести, а a_c - центростремительное ускорение.
4. При минимальной скорости в верхней точке сила натяжения равна нулю (T = 0):
Mg = Ma_c.
5. Центростремительное ускорение выражается как:
a_c = v² / L,
где v - скорость системы в верхней точке.
6. Подставим это в уравнение:
Mg = M * (v² / L).
7. Упрощаем уравнение, сокращая массу M:
g = v² / L.
8. Теперь выразим скорость v:
v² = g * L.
9. Подставим известные значения:
v² = 9,81 м/с² * 1 м = 9,81 м²/с².
10. Найдем v:
v = √(9,81) ≈ 3,13 м/с.
11. Однако эта скорость относится к верхней точке окружности. Нам необходимо найти начальную скорость пули, которая обеспечит эту скорость после столкновения. Мы можем использовать закон сохранения импульса.
12. Импульс до столкновения (P_initial):
P_initial = m2 * v_p, где v_p - скорость пули.
13. Импульс после столкновения (P_final):
P_final = M * v, где v - скорость системы в верхней точке, которую мы нашли ранее.
14. По закону сохранения импульса:
m2 * v_p = M * v.
15. Выразим v_p:
v_p = (M * v) / m2.
16. Подставим значения:
v_p = (0,31 кг * 3,13 м/с) / 0,01 кг = 97,03 м/с.
Ответ:
Минимальная скорость пули, необходимая для того, чтобы шар с застрявшей в нем пулей совершил полный оборот в вертикальной плоскости, составляет примерно 97,03 м/с.