Дано:
- радиус мёртвой петли (R) = 20 см = 0,2 м
- ускорение свободного падения (g) = 9,81 м/с²
Найти:
1. Минимальную начальную высоту (h), необходимую для того, чтобы шайба прошла всю мёртвую петлю, не отрываясь от жёлоба.
Решение:
1. Для успешного завершения полного оборота в верхней точке мёртвой петли сила натяжения должна быть неотрицательной. В верхней точке на шайбу действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения. При минимальной скорости в верхней точке сила натяжения равна нулю (T = 0).
2. Уравнение в верхней точке выглядит так:
mg = ma_c,
где a_c - центростремительное ускорение.
3. Центростремительное ускорение выражается как:
a_c = v² / R.
4. Подставим это в уравнение:
mg = m(v² / R).
5. Упростим уравнение, сократив массу m:
g = v² / R.
6. Теперь выразим скорость v:
v² = g * R.
7. Подставим известные значения:
v² = 9,81 м/с² * 0,2 м = 1,962 м²/с².
8. Найдем v:
v = √(1,962) ≈ 1,40 м/с.
9. Теперь найдем минимальную начальную высоту h. Для этого используем закон сохранения механической энергии. Энергия в начале будет равна потенциальной энергии, а в верхней точке — сумме кинетической и потенциальной энергий.
10. На начальной высоте h потенциальная энергия:
E_initial = mgh.
11. В верхней точке мёртвой петли потенциальная энергия и кинетическая энергия:
E_final = mg(2R) + (1/2)mv²,
где 2R — высота в верхней точке.
12. По закону сохранения энергии имеем:
mgh = mg(2R) + (1/2)mv².
13. Сокращаем массу m:
gh = g(2R) + (1/2)v².
14. Перепишем уравнение для h:
h = 2R + (v² / (2g)).
15. Подставим известные значения:
h = 2*0,2 м + (1,962 / (2*9,81)).
16. Вычислим:
h = 0,4 м + (1,962 / 19,62) = 0,4 м + 0,1 м = 0,5 м.
Ответ:
Минимальная начальная высота шайбы, необходимая для прохождения всей мёртвой петли, составляет 0,5 м.