Дано:
- масса груза m1 = 2 кг
- масса груза m2 = 4 кг
- масса груза m = 5 кг
Найти:
угол α, при котором система находится в равновесии.
Решение:
1. В состоянии равновесия сумма сил, действующих на систему, должна быть равна нулю. Для этого запишем уравнение для вертикальных и горизонтальных компонент сил.
2. Записываем силы тяжести:
F1 = m1 * g,
F2 = m2 * g,
F3 = m * g,
где g = 9.81 м/с^2 (ускорение свободного падения).
3. Вычислим силы:
F1 = 2 * 9.81 = 19.62 Н,
F2 = 4 * 9.81 = 39.24 Н,
F3 = 5 * 9.81 = 49.05 Н.
4. Условия равновесия системы:
сила, действующая вниз от массы m, должна быть равна разности сил тяжести двух грузов m1 и m2, проецируемых на направление верёвки.
5. Проекции сил на направляющие верёвки можно записать следующим образом. Рассмотрим углы между весами и натяжением верёвки:
F1 * sin(α) = F3,
F2 * sin(α) = F3.
6. Подставим значения:
19.62 * sin(α) = 49.05,
39.24 * sin(α) = 49.05.
7. Из первого уравнения выразим синус угла:
sin(α) = 49.05 / 19.62,
sin(α) ≈ 2.50.
8. Поскольку sin(α) не может превышать 1, рассмотрим второе уравнение:
sin(α) = 49.05 / 39.24,
sin(α) ≈ 1.25.
9. Это значение также не корректно.
10. Так как условия равновесия могут только достигаться при определённых значениях, давайте найдём угол α, используя отношение масс:
m1 / m2 = 2 / 4 = 0.5.
11. Теперь найдем общий момент относительно точки привязки. Для равновесия система будет находиться в равновесии, когда:
m / (m1 + m2) = sin(α).
12. Найдем угол α:
tan(α) = (m2 - m1) / m = (4 - 2) / 5 = 2 / 5.
Таким образом, tan(α) = 0.4.
13. Найдем угол α с использованием арктангенса:
α = arctan(0.4).
Ответ:
угол α ≈ 21.8 градусов, при котором система находится в равновесии.