Дано:
- длина лестницы I (в СИ, в м)
- угол между стеной и лестницей α (в градусах или радианах)
- коэффициент трения между лестницей и полом u (безразмерный)
Найти:
максимальную высоту h, на которую может подняться монтёр.
Решение:
1. Рассмотрим силы, действующие на лестницу:
- сила тяжести W = M * g, где M — масса монтёра, g — ускорение свободного падения.
- нормальная сила N, действующая со стороны пола.
- сила трения F_friction = u * N, направленная вдоль пола.
- реакция от стены F_wall, направленная горизонтально.
2. Условия равновесия:
- По вертикали: N = W.
- По горизонтали: F_wall = F_friction.
3. Момент сил относительно точки контакта лестницы с полом:
Для равновесия момента:
W * (h / cos(α)) = F_wall * (I * sin(α)),
где h = I * sin(α) — высота подъёма монтёра.
4. Подставим значения выражений для силы трения и реакции:
W = M * g,
F_friction = u * W = u * M * g.
5. Тогда момент можно записать как:
M * g * (h / cos(α)) = (u * M * g) * (I * sin(α)).
6. Упрощаем уравнение, сократив на M * g (при условии, что они не равны нулю):
h / cos(α) = u * I * sin(α).
7. Выразим h:
h = u * I * sin(α) * cos(α).
8. Используем формулу двойного угла:
sin(2α) = 2 * sin(α) * cos(α),
тогда h = (u / 2) * I * sin(2α).
Ответ:
Максимальная высота h, на которую может подняться монтёр, равна:
h = (u / 2) * I * sin(2α).