Воздушный шар объёмом V = 300 м3 парит вблизи поверхности Земли. С шара сбросили балласт, и шар поднялся на высоту, где плотность воздуха вдвое меньше. Какова масса m балласта, если объём шара при подъёме увеличился в полтора раза? Плотность воздуха у поверхности Земли равна 1,29 кг/м3.
от

1 Ответ

дано:  
- объём шара V = 300 м³  
- плотность воздуха у поверхности Земли ρ_1 = 1,29 кг/м³  
- плотность воздуха на высоте ρ_2 = ρ_1 / 2 = 1,29 / 2 = 0,645 кг/м³  
- объём шара при подъёме V' = 1,5 * V = 1,5 * 300 = 450 м³  

найти:  
массу балласта m.  

решение:  
1. Рассчитаем архимедову силу (подъёмную силу) для шара до сброса балласта:  
   F_архимеда_1 = ρ_1 * V * g,  
   где g - ускорение свободного падения (приблизительно 9,81 м/с²).

   F_архимеда_1 = 1,29 * 300 * 9,81 ≈ 3792,57 Н.  

2. Рассчитаем архимедову силу для шара после сброса балласта:  
   F_архимеда_2 = ρ_2 * V' * g.  

   F_архимеда_2 = 0,645 * 450 * 9,81 ≈ 2846,65 Н.  

3. Для того чтобы шар поднялся, разница между архимедовой силой и весом шара (включая балласт) должна быть равна нулю:  
   F_архимеда_2 - W_шара = 0,  
   где W_шара = m_шара * g + m_балласта * g.  

4. Перепишем уравнение:  
   F_архимеда_2 = W_шара + W_балласта.  

5. Обозначим массу шара как m_шара. Мы можем выразить массу шара через объём и плотность:  
   m_шара = ρ_1 * V = 1,29 * 300 ≈ 387 кг.  

6. Подставим массу шара в уравнение:  
   2846,65 = (387 + m) * 9,81.  

7. Упростим уравнение:  
   2846,65 = 387 * 9,81 + m * 9,81.  
   2846,65 = 3792,27 + m * 9,81.  

8. Переносим всё в одну сторону:  
   m * 9,81 = 2846,65 - 3792,27.  
   m * 9,81 = -945,62.  

   Поскольку масса не может быть отрицательной, это указывает на то, что вес шара с балластом должен быть ниже архимедовой силы.

9. Теперь выражаем m:  
   m = (-945,62) / 9,81 ≈ -96,31 кг, но так как мы рассматриваем только один случай, при отсутствии балласта:  
   m_балласта = W_шара - F_архимеда_2 / g.

10. В итоге, пересчитываем с учётом массы:  
   m_балласта = (F_архимеда_1 - F_архимеда_2)/g = (3792,57 - 2846,65)/9,81.   
   m_балласта = 95,82 кг.

ответ:  
масса балласта составляет примерно 95,82 кг.
от