Дано:
1. Напряжение U = 100 В.
2. Суммарная мощность при последовательном подключении P1 = 40 Вт.
3. Суммарная мощность при параллельном подключении P2 = 250 Вт.
Найти:
Сопротивления резисторов R1 и R2.
Решение:
1. При последовательном подключении резисторов общее сопротивление R = R1 + R2.
Мощность P1 можно выразить через общее сопротивление:
P1 = U² / R,
откуда:
R = U² / P1.
Подставим значения:
R = 100² / 40 = 250 Ом.
2. При параллельном подключении резисторов общее сопротивление R' рассчитывается по формуле:
1 / R' = 1 / R1 + 1 / R2.
Мощность P2 можно выразить как:
P2 = U² / R',
откуда:
R' = U² / P2.
Подставим значения:
R' = 100² / 250 = 40 Ом.
3. Теперь у нас есть две системы уравнений:
R = R1 + R2 = 250 Ом,
R' = 1 / (1/R1 + 1/R2) = 40 Ом.
4. Из первого уравнения выразим R2:
R2 = 250 - R1.
5. Подставим R2 во второе уравнение:
1 / 40 = 1 / R1 + 1 / (250 - R1).
Умножим обе стороны на 40R1(250 - R1):
250R1 - R1² = 40(250 - R1).
Раскроем скобки:
250R1 - R1² = 10000 - 40R1.
Переносим все в одну сторону:
R1² - 290R1 + 10000 = 0.
6. Решим это квадратное уравнение по формуле дискриминанта:
D = b² - 4ac = (-290)² - 4 * 1 * 10000 = 84100 - 40000 = 44100.
Находим корни:
R1 = (290 ± √44100) / 2 = (290 ± 210) / 2.
7. Получаем два корня:
R1 = (500) / 2 = 250 Ом,
R1 = (80) / 2 = 40 Ом.
Следовательно, R2 = 250 - 250 = 0 Ом (не подходит) или R2 = 250 - 40 = 210 Ом.
Ответ:
Сопротивления резисторов составляют 40 Ом и 210 Ом.