Дано:
- Максимальное напряжение на конденсаторе Uu
- Емкость конденсатора C (в Фарадах)
- Индуктивность катушки L (в Генри)
Найти:
- Сила тока I в катушке в момент, когда напряжение на конденсаторе уменьшится в 2 раза (U = Uu / 2)
Решение:
1. Напряжение на конденсаторе и заряд связаны следующим образом:
U = Q / C,
где Q - заряд на конденсаторе.
2. Когда напряжение уменьшается в 2 раза, получаем:
U = Uu / 2 = Q / C.
3. Сначала найдем заряд на конденсаторе при напряжении Uu:
Qmax = Uu * C.
4. Теперь, когда напряжение уменьшилось в 2 раза:
U = Uu / 2,
Q = U * C = (Uu / 2) * C = (Uu * C) / 2 = Qmax / 2.
5. Находим ток в катушке. В колебательном контуре связь между током и зарядом:
I = -dQ/dt.
6. В момент, когда заряд равен Q = Qmax / 2, используем уравнение для тока:
Q = Qmax * cos(ωt), где ω = 1/sqrt(LC).
7. Если U = Uu / 2, тогда cos(ωt) = 1/2.
8. Найдем sin(ωt) с помощью тригонометрической идентичности:
sin^2(ωt) + cos^2(ωt) = 1,
sin^2(ωt) = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4,
sin(ωt) = sqrt(3/4) = sqrt(3) / 2.
9. Теперь подставим cos(ωt) и sin(ωt) в формулу для тока:
I = -Qmax * ω * sin(ωt),
I = -Qmax * (1/sqrt(LC)) * (sqrt(3)/2).
10. Подставляем Qmax = Uu * C:
I = - (Uu * C) * (1/sqrt(LC)) * (sqrt(3)/2).
Ответ:
Сила тока I в катушке, когда напряжение на конденсаторе уменьшилось в 2 раза, равна - (Uu * C * sqrt(3)) / (2 * sqrt(LC)).