Дано:
1. Расстояние от предмета до экрана d1 = 45 см = 0.45 м (уменьшенное изображение).
2. Второе изображение в 4 раза больше первого.
Итак, начнем с определения расстояний.
1. Уменьшенное изображение:
Согласно формуле линзы:
1/f = 1/d_o + 1/d_i,
где f — фокусное расстояние, d_o — расстояние от предмета до линзы, d_i — расстояние от линзы до экрана.
Обозначим расстояние от предмета до линзы как d_o1, а расстояние от линзы до экрана как d_i1. Мы знаем, что d_i1 = 0.45 м.
Изменим размер изображения. Если первое изображение уменьшено, это значит, что d_o1 > d_i1. Для уменьшенного изображения:
h_i1/h_o = d_i1/d_o1,
где h_i1 — высота первого изображения, h_o — высота предмета.
Поскольку изображение уменьшено, можем принять h_i1 = h_o/2. Тогда:
(1/2) = 0.45/d_o1.
Отсюда:
d_o1 = 0.45 * 2 = 0.9 м.
Теперь можем найти фокусное расстояние для первого изображения:
1/f = 1/d_o1 + 1/d_i1
1/f = 1/0.9 + 1/0.45
1/f = (1 + 2)/0.9
1/f = 3/0.9
f = 0.9/3 = 0.3 м.
2. Увеличенное изображение:
Теперь второе изображение в 4 раза больше первого. Это значит, что h_i2 = 4 * h_i1 = 2 * h_o.
Для увеличенного изображения:
h_i2/h_o = d_i2/d_o2,
где d_i2 — расстояние от линзы до экрана для второго изображения, а d_o2 — расстояние от предмета до линзы для второго изображения.
Так как d_i2 = 0.45 м и h_i2 = 2 * h_o, то:
2 = 0.45/d_o2.
Следовательно:
d_o2 = 0.45/2 = 0.225 м.
Теперь мы можем использовать фокусное расстояние для второго изображения:
1/f = 1/d_o2 + 1/d_i2
1/f = 1/0.225 + 1/0.45
1/f = (2 + 1)/0.225
1/f = 3/0.225
f = 0.225/3 = 0.075 м.
Ответ: фокусное расстояние линзы равно 0.075 м или 7.5 см.