дано:
- расстояние от предмета до экрана d = 45 см
- первое изображение уменьшено, обозначим его увеличением M1 = -1/k (где k > 1)
- второе изображение увеличено в 4 раза, значит M2 = 4
найти:
- фокусное расстояние линзы f
решение:
Обозначим расстояние от предмета до линзы как d_o и расстояние от линзы до изображения как d_i.
Для первого изображения:
M1 = -d_i1 / d_o1
С учетом того, что d_o1 + d_i1 = 45 см, можно выразить d_i1 через d_o1:
d_i1 = -M1 * d_o1 = -(-1/k) * d_o1 = (1/k) * d_o1
Заменяем d_i1 в уравнении:
d_o1 + (1/k) * d_o1 = 45
(1 + 1/k) * d_o1 = 45
Теперь выразим d_o1:
d_o1 = 45 / (1 + 1/k)
Для второго изображения:
M2 = -d_i2 / d_o2
У нас d_o2 = d_o1, так как предмет не перемещается.
d_i2 = -M2 * d_o2 = -4 * d_o2 = -4 * d_o1
Так как d_o2 + d_i2 = 45 см, подставим d_i2:
d_o1 - 4 * d_o1 = 45
(-3 * d_o1) = 45
d_o1 = -15 см (это значение не имеет физического смысла в данном случае). Перепроверяем знаки увеличения.
Пусть d_o = d_o1 и d_i1 = (1/k) * d_o1, d_i2 = -4 * d_o1.
Теперь применим формулу тонкой линзы:
1/f = 1/d_o + 1/d_i
Для первого случая:
1/f = 1/d_o1 + 1/((1/k) * d_o1)
Второй случай:
1/f = 1/d_o1 + 1/(-4 * d_o1)
Мы можем найти d_o1 и d_i и затем найти f.
Объединим оба случая:
1/f1 = 1/d_o1 + k/d_o1
f1 = (k/(1+k)) * d_o1
И для второго:
1/f2 = 1/d_o1 - 1/(4*d_o1)
f2 = (4/(3)) * d_o1
Таким образом, мы имеем две различные фокусные длины, которые зависят от значений, полученных ранее.
Теперь нам нужно найти f, используя одну из этих формул:
f = d_o1 * k/(k+1)
Теперь вернемся к M1:
Мы знаем, что k = d_i1/d_o1 и 1/k будет равно 0.25 перегруженным изображением.
Тогда:
f = 45 / ((1+1/k))
где k = 4.
Теперь подставляем значение:
f = 45 / (1 + 1/4) = 45 / (5/4) = 36 см.
ответ:
Фокусное расстояние линзы равно 36 см.