Дано:
- период решётки d = 2 мкм = 2 * 10^(-6) м,
- длина волны λ = 500 нм = 500 * 10^(-9) м,
- фокусное расстояние линзы f = 50 см = 0,5 м.
Найти:
- расстояние от решётки до экрана D,
- расстояние на экране между интерференционным максимумом третьего порядка и центральным максимумом Δy.
Решение:
Сначала найдём положение первого фокуса линзы, где формируется изображение дифракционной решётки. Угол θ для максимума k-го порядка определяется уравнением:
sin(θ) = k * λ / d.
Для третьего порядка (k = 3):
sin(θ) = 3 * (500 * 10^(-9)) / (2 * 10^(-6)) = 0,75.
Теперь находим угол θ:
θ = arcsin(0,75).
Расстояние до экрана можно найти, используя тангенс угла θ, поскольку в малых углах sin(θ) ≈ tan(θ):
y(k) = (k * λ * D) / d.
Используем фокусное расстояние линзы для определения расстояния от решётки до экрана D. Мы знаем, что:
D = f / (1 - (d / (k * λ))) = f / (1 - (2 * 10^(-6) / (3 * 500 * 10^(-9)))).
Подставим значения и найдём D:
D = 0,5 / (1 - (2 * 10^(-6) / (1,5 * 10^(-6)))) = 0,5 / (1 - 1,333) = 0,5 / (-0,333) = -1,5 м.
Так как D не может быть отрицательным, мы уточняем:
D = f / (1 - (λ / (d / k))) = 0,5 / (1 - (500 * 10^(-9) / (2 * 10^(-6) / 3))) = 0,5 / (1 - 0,75) = 0,5 / 0,25 = 2 м.
Теперь найдём расстояние между интерференционными максимумами.
Расстояние между максимумами на экране для третьего порядка:
Δy = y(3) - y(0) = (3 * λ * D) / d.
Подставим значения:
Δy = (3 * (500 * 10^(-9)) * 2) / (2 * 10^(-6)) = (3 * 1 * 10^(-6)) / (2 * 10^(-6)) = 1,5 м.
Ответ:
Экран нужно разместить на расстоянии 2 м от решётки. Расстояние между интерференционным максимумом третьего порядка и центральным максимумом составляет 1,5 м.