Дано:
S_треугольника = 18 м² (площадь треугольника COV)
Квадрат ABCD вписан в окружность.
Найти:
S_сектора (площадь кругового сектора COV).
Решение:
1. В квадрате ABCD угол COV равен 45°, так как диагонали квадрата пересекаются под углом 90°, а радиус окружности, проведённый к вершинам квадрата, делит этот угол пополам.
2. Площадь сектора S_сектора вычисляется по формуле:
S_сектора = (α / 360°) * π * R²,
где α — центральный угол в градусах, R — радиус окружности.
3. Чтобы найти радиус R, используем площадь треугольника. Площадь треугольника COV можно выразить через радиус окружности:
S_треугольника = (1/2) * R * R * sin(45°).
Значит:
18 = (1/2) * R² * (√2 / 2).
Упростим:
18 = (R² * √2) / 4.
Умножим обе стороны на 4:
72 = R² * √2.
Теперь выразим R²:
R² = 72 / √2 = 36√2.
4. Найдем радиус R:
R = √(36√2) = 6√(√2) = 6 * 2^(1/4).
5. Теперь подставим R в формулу для площади сектора. Угол α = 45°, следовательно:
S_сектора = (45 / 360) * π * R².
6. Подставляем R² = 36√2:
S_сектора = (1/8) * π * 36√2 = 4.5√2π м².
7. Приблизительное значение √2 можно взять равным 1.41:
S_сектора ≈ 4.5 * 1.41 * π ≈ 6.29π м².
Ответ:
Площадь кругового сектора COV составляет примерно 6.29π м².