Дано:
АВ = 8 см, АС = 5 см, ВВ1 = 2√10 см.
Найти:
Длину отрезка С1М, где М — середина ребра АВ.
Решение:
1. Сначала найдем координаты точек в пространстве. Пусть:
- А(0, 0, 0)
- В(8, 0, 0)
- С(x, y, 0) — точка С, которую мы определим позже.
- М — середина отрезка АВ, тогда М(4, 0, 0).
- Поскольку призма вертикальная, С1 будет на одной вертикали с С, и С1(x, y, h), где h — высота призмы.
2. Найдем координаты точки С. У нас есть расстояние АС:
АС = 5 см. Тогда, по формуле расстояния между точками:
(x - 0)² + (y - 0)² = 5²
x² + y² = 25.
3. Теперь используем расстояние ВС. Для точки В(8, 0, 0) это расстояние:
(x - 8)² + y² = (2√10)²
(x - 8)² + y² = 40.
4. Раскроем скобки:
(x - 8)² = x² - 16x + 64,
тогда уравнение становится:
x² - 16x + 64 + y² = 40.
Заменим y² из первого уравнения (y² = 25 - x²):
x² - 16x + 64 + 25 - x² = 40,
-16x + 89 = 40,
-16x = 40 - 89,
-16x = -49,
x = 49/16.
5. Теперь подставим x в уравнение y² = 25 - x²:
y² = 25 - (49/16)²,
y² = 25 - 2401/256,
y² = 6400/256 - 2401/256,
y² = 3999/256,
y = ±√(3999)/16.
6. Найдем длину отрезка С1М. С1 имеет координаты (x, y, h), где h = ВВ1 = 2√10. Поэтому:
С1 = (49/16, √(3999)/16, 2√10).
7. Теперь найдём длину отрезка С1М:
С1М = √((49/16 - 4)² + (√(3999)/16 - 0)² + (2√10 - 0)²).
Сначала найдём (49/16 - 4)²:
4 = 64/16, тогда:
(49/16 - 64/16)² = (-15/16)² = 225/256.
Теперь y-координата:
(√(3999)/16)² = 3999/256.
z-координата:
(2√10)² = 4 * 10 = 40.
Теперь подставим:
С1М = √(225/256 + 3999/256 + 40).
Перепишем 40 в виде дроби:
40 = 10240/256.
Тогда:
С1М = √((225 + 3999 + 10240)/256) = √(14564/256) = √(14564)/16.
8. Найдем √(14564). Это не является целым числом, но мы можем приблизительно посчитать:
√(14564) ≈ 120.
Таким образом:
С1М ≈ 120/16 = 7.5 см.
Ответ:
Длина отрезка С1М приблизительно равна 7.5 см.