Дано:
- Длина основания ВС = 12 см
- Длина стороны АС = 10 см
- Высота призмы BB1 = 4√5 см
Найти:
Длину отрезка А1К, где К — середина ребра ВС.
Решение:
1. Определим координаты точек.
- Положим точку B в начале координат: B(0, 0, 0).
- Точка C будет на оси X: C(12, 0, 0).
- Найдем координаты точки A. Для этого используем условия равнобедренного треугольника. Обозначим координаты точки A как (x, y, 0). Мы знаем, что AB = AC, следовательно:
AB = sqrt(x^2 + y^2) = AC = 10 см.
2. Так как ABC — равнобедренный треугольник, высота, проведенная из точки A, делит отрезок BC пополам. Найдем середину отрезка BC, которая будет точкой K:
K = ((0 + 12) / 2, (0 + 0) / 2, 0) = (6, 0, 0).
3. Высота A1 находится на высоте BB1 = 4√5 см:
A1 = (x, y, 4√5).
4. Теперь найдем длину отрезка A1K:
A1K = sqrt((x - 6)^2 + (y - 0)^2 + (4√5 - 0)^2).
5. Чтобы найти x и y, используем уравнение для равнобедренного треугольника:
AB = AC = 10 см и BC = 12 см.
В этом треугольнике высота h из точки A на основание BC может быть найдена из формулы:
h = sqrt(AC^2 - (BC / 2)^2) = sqrt(10^2 - (12 / 2)^2) = sqrt(100 - 36) = sqrt(64) = 8 см.
Значит, координаты A будут:
A(6, 8, 0).
6. Подставим найденные координаты в формулу длины отрезка A1K:
A1K = sqrt((6 - 6)^2 + (8 - 0)^2 + (4√5 - 0)^2)
= sqrt(0 + 8^2 + (4√5)^2)
= sqrt(0 + 64 + 80)
= sqrt(144) = 12 см.
Ответ:
Длина отрезка A1K равна 12 см.