Дано:
AB = 10 см,
AD = 4 см,
∠B = 135°.
Найти:
1) скалярное произведение векторов BA и BC;
2) скалярное произведение векторов AB и BC.
Решение:
1) Для нахождения векторов BA и BC нужно сначала представить их в координатах. Пусть точка A находится в начале координат (0, 0), тогда:
A(0, 0),
B(10, 0).
Теперь найдем координаты точки D. Угол B равен 135°, поэтому угол ABD равен 180° - 135° = 45°. Используем длину стороны AD для расчета координат точки D:
D(10 + 4 * cos(135°), 0 + 4 * sin(135°)),
где cos(135°) = -√2/2 и sin(135°) = √2/2.
Так получаем:
D(10 - 4√2/2, 4√2/2) = (10 - 2√2, 2√2).
Теперь находим координаты точки C, которая является противоположной к точке A:
C(x_C, y_C) = (x_B - AD * cos(B), y_B + AD * sin(B)) = (10 - 4 * (-√2/2), 0 + 4 * (√2/2)).
Таким образом:
C(10 + 2√2, 2√2).
Теперь найдем вектор BA и BC:
BA = A - B = (0, 0) - (10, 0) = (-10, 0),
BC = C - B = (10 + 2√2, 2√2) - (10, 0) = (2√2, 2√2).
Теперь можем найти скалярное произведение BA и BC:
BA · BC = (-10, 0) · (2√2, 2√2) = -10 * 2√2 + 0 * 2√2 = -20√2.
2) Теперь найдем скалярное произведение AB и BC. Вектор AB:
AB = B - A = (10, 0) - (0, 0) = (10, 0).
Скалярное произведение AB и BC:
AB · BC = (10, 0) · (2√2, 2√2) = 10 * 2√2 + 0 * 2√2 = 20√2.
Ответ:
1) BA · BC = -20√2;
2) AB · BC = 20√2.