Дано:
боковая сторона (AB) = 6 м,
угол, противолежащий основанию (∠C) = 45°.
Найти:
площадь треугольника.
Решение:
1) Обозначим стороны треугольника:
AB = AC = 6 м (так как треугольник равнобедренный),
BC – основание треугольника.
2) Для нахождения площади используем формулу:
S = (1/2) * a * h,
где a - основание, h - высота.
3) Сначала найдем основание BC. Используем теорему синусов для нахождения высоты. Высота h опущенная из вершины A на сторону BC делит его на две равные части (в равнобедренном треугольнике).
4) Введем обозначения:
M – точка пересечения высоты с основанием BC. Тогда BM = MC = x.
5) По теореме синусов в треугольнике ABM:
sin(∠A) = h / AB
h = AB * sin(∠A).
Так как ∠A = 45°, то sin(45°) = √2/2.
Тогда:
h = 6 * (√2/2) = 3√2.
6) Теперь найдем основание BC. Из треугольника ABM:
cos(∠A) = x / AB,
x = AB * cos(∠A).
cos(45°) = √2/2, тогда:
x = 6 * (√2/2) = 3√2.
7) Таким образом:
BC = 2x = 2 * 3√2 = 6√2.
8) Теперь подставим значения в формулу для площади:
S = (1/2) * BC * h,
S = (1/2) * 6√2 * 3√2.
9) Упрощаем:
S = (1/2) * 6 * 3 * 2,
S = 18 м².
Ответ:
Площадь треугольника S = 18 м².