Косинус  угла,  образованного  боковой  стороной  равнобедренного  треугольника  и  высотой,  проведённой  к  его  основанию  длиной  6  см,  равен  1/2 .  Найдите:  а)  периметр  равнобедренного  треугольника;    б)  синус  угла  при  основании  данного  треугольника
от

1 Ответ

Дано:  
Равнобедренный треугольник, длина основания 6 см, косинус угла между боковой стороной и высотой, проведенной к основанию, равен 1/2.

Найти:  
а) периметр равнобедренного треугольника;  
б) синус угла при основании данного треугольника.

Решение:  

а) Для нахождения периметра равнобедренного треугольника, необходимо найти длину боковой стороны. Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна х. Мы знаем, что косинус угла между боковой стороной и высотой равен 1/2.

1. Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания. В этом треугольнике высота является одной стороной, половина основания – другой стороной, а боковая сторона – гипотенузой.  
Так как косинус угла между боковой стороной и высотой равен 1/2, то можно использовать определение косинуса:
cos(θ) = прилежащий катет / гипотенуза.

В данном случае прилежащий катет – это половина основания (3 см), а гипотенуза – это боковая сторона х. Тогда:
cos(θ) = 3 / х.
Так как cos(θ) = 1/2, получаем:
1/2 = 3 / х.

Теперь решим это уравнение относительно х:
х = 3 * 2 = 6 см.

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 6 см.

2. Теперь, зная длину боковой стороны и основание, можем найти периметр треугольника. Периметр равнобедренного треугольника равен:
P = 2 * х + основание.

Подставим значения:
P = 2 * 6 + 6 = 12 + 6 = 18 см.

Ответ: периметр равнобедренного треугольника равен 18 см.

б) Чтобы найти синус угла при основании треугольника, снова рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания. Для этого треугольника синус угла равен отношению противоположного катета (высоты) к гипотенузе (боковой стороне).

1. Используем теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника. Пусть высота равна h. Тогда:
h² + 3² = 6².
h² + 9 = 36.
h² = 36 - 9 = 27.
h = √27 ≈ 5.2 см.

2. Теперь, зная высоту, можем найти синус угла. Синус угла θ равен:
sin(θ) = противоположный катет / гипотенуза = h / х.
sin(θ) = 5.2 / 6 ≈ 0.87.

Ответ: синус угла при основании равен 0.87.
от