Дано:
Равнобедренный треугольник, длина основания 6 см, косинус угла между боковой стороной и высотой, проведенной к основанию, равен 1/2.
Найти:
а) периметр равнобедренного треугольника;
б) синус угла при основании данного треугольника.
Решение:
а) Для нахождения периметра равнобедренного треугольника, необходимо найти длину боковой стороны. Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна х. Мы знаем, что косинус угла между боковой стороной и высотой равен 1/2.
1. Рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания. В этом треугольнике высота является одной стороной, половина основания – другой стороной, а боковая сторона – гипотенузой.
Так как косинус угла между боковой стороной и высотой равен 1/2, то можно использовать определение косинуса:
cos(θ) = прилежащий катет / гипотенуза.
В данном случае прилежащий катет – это половина основания (3 см), а гипотенуза – это боковая сторона х. Тогда:
cos(θ) = 3 / х.
Так как cos(θ) = 1/2, получаем:
1/2 = 3 / х.
Теперь решим это уравнение относительно х:
х = 3 * 2 = 6 см.
Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 6 см.
2. Теперь, зная длину боковой стороны и основание, можем найти периметр треугольника. Периметр равнобедренного треугольника равен:
P = 2 * х + основание.
Подставим значения:
P = 2 * 6 + 6 = 12 + 6 = 18 см.
Ответ: периметр равнобедренного треугольника равен 18 см.
б) Чтобы найти синус угла при основании треугольника, снова рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания. Для этого треугольника синус угла равен отношению противоположного катета (высоты) к гипотенузе (боковой стороне).
1. Используем теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника. Пусть высота равна h. Тогда:
h² + 3² = 6².
h² + 9 = 36.
h² = 36 - 9 = 27.
h = √27 ≈ 5.2 см.
2. Теперь, зная высоту, можем найти синус угла. Синус угла θ равен:
sin(θ) = противоположный катет / гипотенуза = h / х.
sin(θ) = 5.2 / 6 ≈ 0.87.
Ответ: синус угла при основании равен 0.87.