Дано:
Равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC (боковые стороны) и BC (основание).
Медиана AM, проведённая к основанию BC, равна основанию: AM = BC.
Найти:
Косинус угла между боковыми сторонами AB и AC.
Решение:
1. Обозначим длину основания BC как a. Тогда AM = a.
2. По свойству медианы в треугольнике, длина медианы можно выразить через стороны треугольника. Для треугольника ABC, медиана AM, проведенная к основанию BC, рассчитывается по формуле:
AM = (1/2) * sqrt(2AB^2 + 2AC^2 - a^2).
Поскольку AB = AC, обозначим их как b. Тогда:
AM = (1/2) * sqrt(2b^2 + 2b^2 - a^2) = (1/2) * sqrt(4b^2 - a^2).
3. Из условия задачи известно, что AM = a:
a = (1/2) * sqrt(4b^2 - a^2).
4. Умножим обе стороны на 2:
2a = sqrt(4b^2 - a^2).
5. Возведем обе стороны в квадрат:
(2a)^2 = 4b^2 - a^2,
4a^2 = 4b^2 - a^2.
6. Перепишем уравнение:
4a^2 + a^2 = 4b^2,
5a^2 = 4b^2.
7. Разделим обе стороны на 4:
b^2 = (5/4)a^2.
8. Извлечем корень:
b = sqrt(5/4) * a = (sqrt(5)/2) * a.
9. Теперь найдем косинус угла между боковыми сторонами AB и AC, используя закон косинусов:
cos(θ) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC).
Подставим значения:
cos(θ) = (b^2 + b^2 - a^2) / (2 * b * b) = (2b^2 - a^2) / (2b^2).
10. Заменим b^2 из предыдущего уравнения:
cos(θ) = (2 * (5/4)a^2 - a^2) / (2 * (5/4)a^2) = (10/4)a^2 - (4/4)a^2) / (2 * (5/4)a^2)
cos(θ) = ((10/4 - 4/4)a^2) / (2 * (5/4)a^2) = (6/4)a^2 / (2 * (5/4)a^2).
11. Упростим выражение:
cos(θ) = (6/4) / (2 * (5/4)) = (6/4) * (4/10) = 6/10 = 3/5.
Ответ:
Косинус угла между боковыми сторонами равнобедренного треугольника равен 3/5.