Дано:
- высота, проведённая к основанию, h1 = 15 см,
- высота, проведённая к боковой стороне, h2 = 24 см.
Найти: площадь равнобедренного треугольника.
Решение:
1. Пусть основание треугольника равно b, а боковая сторона — a.
2. Рассмотрим высоту, проведённую к основанию. Эта высота делит основание пополам, то есть каждый из прямоугольных треугольников будет иметь катет, равный b/2, гипотенузу a и высоту h1. Используем теорему Пифагора в одном из этих прямоугольных треугольников:
a² = (b/2)² + h1²
a² = (b/2)² + 15²
a² = (b/2)² + 225 (1)
3. Теперь используем вторую высоту, проведённую к боковой стороне, h2 = 24 см. Эта высота делит боковую сторону пополам, и для второго прямоугольного треугольника, где катет равен a/2, гипотенуза — h2. Применим теорему Пифагора:
b² = (a/2)² + h2²
b² = (a/2)² + 24²
b² = (a/2)² + 576 (2)
4. Теперь решим систему уравнений.
Из уравнения (1) выражаем (b/2)²:
a² = (b/2)² + 225
(b/2)² = a² - 225 (3)
Подставим (b/2)² из уравнения (3) в уравнение (2):
b² = (a/2)² + 576
b² = (a² - 225)/4 + 576
5. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
4b² = (a² - 225) + 2304
4b² = a² + 2079 (4)
6. Теперь вернёмся к уравнению (1) и выразим b² через a:
a² = (b/2)² + 225
a² - 225 = (b/2)²
4a² - 900 = b² (5)
7. Подставим (5) в (4):
4b² = a² + 2079
4(4a² - 900) = a² + 2079
16a² - 3600 = a² + 2079
16a² - a² = 3600 + 2079
15a² = 5679
a² = 5679 / 15
a² = 378.6
a ≈ 19.47 см
8. Теперь подставим значение a в (5), чтобы найти b²:
b² = 4a² - 900
b² = 4(378.6) - 900
b² = 1514.4 - 900
b² = 614.4
b ≈ 24.78 см
9. Площадь треугольника можно найти по формуле:
S = (1/2) * b * h1
S = (1/2) * 24.78 * 15
S ≈ 186 см²
Ответ: площадь треугольника примерно 186 см².