Дано:
∠AMB = 30°,
∠A = 45°,
BM = 10 см.
Найти:
углы ∠B и ∠D, боковые стороны AB и AD.
Решение:
1) Поскольку BM || CD, то по теореме о соответственных углах:
∠A = ∠D.
Таким образом:
∠D = 45°.
2) Сумма внутренних углов трапеции ABCD равна 360°:
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
Поскольку ∠C и ∠B являются соответственными углами при параллельных прямых BM и CD:
∠C = ∠B.
3) Подставим известные значения в уравнение.
45° + ∠B + ∠B + 45° = 360°.
Это упрощается до:
90° + 2∠B = 360°.
4) Выразим угол B:
2∠B = 360° - 90°,
2∠B = 270°,
∠B = 135°.
5) Теперь мы имеем:
∠A = 45°, ∠B = 135°, ∠C = 135°, ∠D = 45°.
6) Найдем боковые стороны AB и AD. Используем треугольник AMB.
В треугольнике AMB:
- BM = 10 см,
- ∠AMB = 30°,
- ∠A = 45°.
7) По формуле для высоты (AM):
AM = BM * sin(∠AMB) = 10 * sin(30°) = 10 * 0.5 = 5 см.
8) Теперь найдем сторону AB, используя тангенс угла A:
AB = AM / sin(∠A) = 5 / sin(45°) = 5 / (sqrt(2)/2) = 5 * (sqrt(2)/2) = (5√2) / 2 см.
9) Сторона AD будет равна такой же, так как углы A и D равны и фигура является равнобедренной трапецией:
AD = AB = (5√2) / 2 см.
Ответ:
∠B = 135°, ∠D = 45°; боковые стороны AB = (5√2) / 2 см, AD = (5√2) / 2 см.