Дано:
Радиус круга R = 9 см. Сторона AB прямоугольника ABCD в 2 раза меньше диагонали.
Найти:
Площадь сектора AOD, содержащего сторону AD.
Решение:
1) Пусть AB = a. Тогда по условию:
AC (диагональ) = sqrt(a² + b²), где b - сторона AD.
Согласно условию задачи:
a = 1/2 * AC.
Подставим выражение для диагонали:
a = 1/2 * sqrt(a² + b²).
2) Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
a² = 1/4 * (a² + b²).
3) Умножим обе стороны на 4:
4a² = a² + b².
4) Переносим все в одну сторону:
3a² = b².
5) Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для всего прямоугольника:
a² + b² = (2R)², где 2R - это длина диагонали, равная 18 см.
Подставляем:
a² + (3a²) = 18²,
4a² = 324,
a² = 81,
a = 9 см.
6) Нахождение стороны b:
b² = 3a² = 3 * 81 = 243,
b = sqrt(243) = 9√3 см.
7) Теперь найдем угол AOD. Он соответствует стороне AD и можно вычислить его через тангенс:
tan(θ) = b/a = (9√3)/9 = √3.
Таким образом, θ = 60°.
8) Площадь сектора AOD S вычисляется по формуле:
S = (θ / 360°) * π * R².
Подставляем:
S = (60 / 360) * π * (9)².
9) Упрощаем расчет:
S = (1/6) * π * 81 = 13.5π см².
Ответ:
Площадь сектора AOD равна 13.5π см².