Дано:
Радиус окружности R = 9 см.
Прямоугольник ABCD, у которого диагональ в 2 раза больше стороны BC.
Найти:
Длину дуги, стягиваемую хордой AB.
Решение:
1. Обозначим сторону BC = x см. Тогда диагональ AC будет равна 2x см.
2. В прямоугольнике ABCD диагональ может быть найдена по формуле:
AC = √(AB^2 + BC^2).
Поскольку AB = AD и в прямоугольнике ABCD:
AC = √(x^2 + AB^2).
3. Учитывая, что AC = 2x, запишем уравнение:
2x = √(x^2 + AB^2).
4. Квадратируем обе стороны:
(2x)^2 = x^2 + AB^2.
5. Упрощаем:
4x^2 = x^2 + AB^2.
6. Из этого получаем:
AB^2 = 3x^2.
7. Следовательно, AB = √(3) * x.
8. Теперь находим периметр прямоугольника ABCD:
P = 2(AB + BC) = 2(√(3) * x + x) = 2x(√(3) + 1).
9. Используем свойство, что в прямоугольнике ABCD вписаны окружности, и его диагонали равны:
AC = 2x = √(2 * R^2).
10. Подставим радиус:
2x = √(2 * 9^2) = √(162) = 9√(2).
11. Теперь найдем x:
x = (9√(2)) / 2.
12. Теперь вычисляем AB:
AB = √(3) * x = √(3) * (9√(2) / 2) = (9√(6)) / 2.
13. Для нахождения длины дуги AB используем формулу длины дуги:
L = R * α,
где α - центральный угол в радианах. Угол между AB и AC можно найти из соотношения:
tan(α/2) = (BC / AB).
14. Сначала найдем BC и AB:
BC = x = (9√(2)) / 2,
AB = (9√(6)) / 2.
15. Используем формулу для нахождения угла:
tan(α/2) = ((9√(2)/2) / (9√(6)/2)) = √(2/6) = 1/√3.
16. Угол α = 2 * arctan(1/√3) = 2 * π/6 = π/3.
17. Теперь подставим в формулу для длины дуги:
L = R * α = 9 * (π/3) = 3π см.
Ответ:
Длина дуги, стягиваемой хордой AB, равна 3π см.