В окружность радиуса 9 см вписан прямоугольник ABCD, у которого диагональ в 2 раза больше стороны ВС. Найдите длины дуг, стягиваемых хордой АВ.
назад от

1 Ответ

Дано:
Радиус окружности R = 9 см.
Прямоугольник ABCD, у которого диагональ в 2 раза больше стороны BC.

Найти:
Длину дуги, стягиваемую хордой AB.

Решение:

1. Обозначим сторону BC = x см. Тогда диагональ AC будет равна 2x см.

2. В прямоугольнике ABCD диагональ может быть найдена по формуле:

AC = √(AB^2 + BC^2).

Поскольку AB = AD и в прямоугольнике ABCD:

AC = √(x^2 + AB^2).

3. Учитывая, что AC = 2x, запишем уравнение:

2x = √(x^2 + AB^2).

4. Квадратируем обе стороны:

(2x)^2 = x^2 + AB^2.

5. Упрощаем:

4x^2 = x^2 + AB^2.

6. Из этого получаем:

AB^2 = 3x^2.

7. Следовательно, AB = √(3) * x.

8. Теперь находим периметр прямоугольника ABCD:

P = 2(AB + BC) = 2(√(3) * x + x) = 2x(√(3) + 1).

9. Используем свойство, что в прямоугольнике ABCD вписаны окружности, и его диагонали равны:

AC = 2x = √(2 * R^2).

10. Подставим радиус:

2x = √(2 * 9^2) = √(162) = 9√(2).

11. Теперь найдем x:

x = (9√(2)) / 2.

12. Теперь вычисляем AB:

AB = √(3) * x = √(3) * (9√(2) / 2) = (9√(6)) / 2.

13. Для нахождения длины дуги AB используем формулу длины дуги:

L = R * α,

где α - центральный угол в радианах. Угол между AB и AC можно найти из соотношения:

tan(α/2) = (BC / AB).

14. Сначала найдем BC и AB:

BC = x = (9√(2)) / 2,
AB = (9√(6)) / 2.

15. Используем формулу для нахождения угла:

tan(α/2) = ((9√(2)/2) / (9√(6)/2)) = √(2/6) = 1/√3.

16. Угол α = 2 * arctan(1/√3) = 2 * π/6 = π/3.

17. Теперь подставим в формулу для длины дуги:

L = R * α = 9 * (π/3) = 3π см.

Ответ:
Длина дуги, стягиваемой хордой AB, равна 3π см.
назад от