Дано: боковое ребро пирамиды l = 13, высота h = 12.
Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна S_osn = a^2, где a - длина стороны основания пирамиды.
Рассмотрим треугольник, образованный половиной основания пирамиды, высотой и половиной одного из диагональных рёбер. Этот треугольник является прямоугольным с гипотенузой l (боковым ребром пирамиды), катетами h/2 и a/2.
Применим теорему Пифагора к этому треугольнику:
(l/2)^2 = (a/2)^2 + (h/2)^2,
(13/2)^2 = (a/2)^2 + (12/2)^2,
(6.5)^2 = (a/2)^2 + 36,
42.25 = (a/2)^2 + 36,
(a/2)^2 = 42.25 - 36 = 6.25,
a/2 = √6.25 = 2.5,
a = 5.
Теперь можем найти площадь основания пирамиды:
S_osn = a^2 = 5^2 = 25.
Ответ: площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна 25 квадратных единиц.