Дано:
Высота конуса h = 4 см, угол между образующей и высотой φ = 45°.
Найти:
Площадь боковой поверхности S и объем V конуса.
Решение:
1. Сначала найдем радиус основания r конуса. В треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей, угол между высотой и образующей равен 45°.
Поскольку tan(φ) = r/h, то:
r = h * tan(φ).
Подставим значение h и tan(45°) = 1:
r = 4 * 1 = 4 см.
2. Теперь найдем длину образующей l. Используем теорему Пифагора:
l = sqrt(h² + r²).
Подставим значения:
l = sqrt(4² + 4²) = sqrt(16 + 16) = sqrt(32) = 4√2 см.
3. Теперь можно найти площадь боковой поверхности S конуса. Формула для площади боковой поверхности:
S = π * r * l.
Подставим значения:
S = π * 4 * 4√2 = 16√2π см².
4. Найдем объем V конуса. Формула для объема:
V = (1/3) * π * r² * h.
Подставим значения:
V = (1/3) * π * 4² * 4 = (1/3) * π * 16 * 4 = (64/3)π см³.
Ответ:
Площадь боковой поверхности конуса равна 16√2π см², объем конуса равен (64/3)π см³.