Дано: угол между образующей и высотой конуса 60°, длина образующей l = 8.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:
S_bok = πrl,
где r - радиус основания, l - длина образующей.
Высота конуса h, радиус основания r и образующая связаны треугольным соотношением:
tg(30°) = r / h,
1/√3 = r / h,
r = h / √3.
Также из геометрии конуса следует, что:
l = √(r^2 + h^2).
Из соотношения tg(30°) = r / h найдем:
h = r√3.
Подставляем h в формулу для l:
l = √(r^2 + (r√3)^2),
l = √(r^2 + 3r^2),
l = √4r^2,
l = 2r.
Из условия l = 8 находим r:
8 = 2r,
r = 4.
Теперь можем найти h:
h = r√3 = 4√3.
Подставляем r и l в формулу для площади боковой поверхности:
S_bok = π * 4 * 4 = 16π.
Объем конуса V вычисляется по формуле:
V = (1/3)πr^2h.
Подставляем известные значения:
V = (1/3)π * 4^2 * 4√3 = 64π/√3.
Ответ:
Площадь боковой поверхности конуса равна 16π кв.см.
Объем конуса равен 64π/√3 куб.см.