дано:
правильный восьмиугольник A1A2...A8, точка O — центр восьмиугольника.
найти:
доказать три утверждения.
решение:
1. Диагональ A1A5 является диаметром описанной около данного восьмиугольника окружности.
Для правильного восьмиугольника углы между соседними вершинами равны 360° / 8 = 45°.
Диагональ A1A5 проходит через центр O, образуя угол 180°, что соответствует диаметру.
Таким образом, A1A5 является диаметром описанной окружности.
2. ∆A1OA6 = ∆A3OA3.
Сначала найдем углы ∠A1OA6 и ∠A3OA3.
Угол A1OA6 = 45° * 5 = 225°.
Угол A3OA4 = 45° * 3 = 135°.
Треугольники A1OA6 и A3OA4 являются равнобедренными (OA1 = OA6 = R), и угол AOA6 = угол AOA3.
Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
3. ∆A1A6 и ∆A3OA4 равновелики (имеют равные площади).
Площадь треугольника можно найти по формуле:
S = 1/2 * a * h, где a — основание, h — высота.
В треугольнике A1A6 основание A1A6, а высота будет проведена из O, что делит треугольник на две равные части.
Треугольник A3OA4 также имеет такую же высоту, так как O — центр.
Таким образом, площади треугольников равны.
ответ:
1) Диагональ A1A5 является диаметром описанной окружности.
2) Треугольники ∆A1OA6 и ∆A3OA3 равны.
3) Треугольники ∆A1A6 и ∆A3OA4 равновелики.