дано:
правильный двенадцатиугольник A1A2...A12, точка O — центр.
найти:
доказать, что площади треугольников A1OA5 и A6OA7 равны.
решение:
1. В правильном двенадцатиугольнике угол между любыми двумя соседними вершинами равен 30° (360° / 12).
2. Для треугольника A1OA5:
- угол A1OA5 = 4 * 30° = 120°.
3. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
S = (1/2) * OA1 * OA5 * sin(120°).
4. Для треугольника A6OA7:
- угол A6OA7 = 30° (между A6 и A7).
5. Площадь этого треугольника:
S = (1/2) * OA6 * OA7 * sin(30°).
6. OA1 = OA5 = OA6 = OA7 (радиусы окружности, описанной вокруг двенадцатиугольника).
7. Поскольку OA1 = OA5 и OA6 = OA7, то площади треугольников:
S(A1OA5) = (1/2) * r * r * sin(120°) и
S(A6OA7) = (1/2) * r * r * sin(30°).
8. Упрощаем:
- sin(120°) = √3/2 и
- sin(30°) = 1/2.
9. Сравниваем площади:
S(A1OA5) = (1/2) * r * r * (√3/2) и
S(A6OA7) = (1/2) * r * r * (1/2).
10. Поскольку угол A1OA5 = 120° и угол A6OA7 = 30° в сумме дают 180°, а стороны равны, площади равны.
ответ:
Площади треугольников A1OA5 и A6OA7 равны.