Дано:
прямоугольник ABCD с вершинами A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C), D(x_D; y_D).
Для примера возьмем координаты:
A(0; 0), B(0; 2), C(3; 2), D(3; 0).
Найти:
1) координаты точек A', B', C', D' — симметричных прямоугольнику ABCD относительно точки B;
2) координаты точек A'', B'', C'', D'' — симметричных прямоугольнику ABCD относительно прямой AC;
3) координаты точек A''', B''', C''', D''' — результирующие точки после параллельного переноса на вектор AC;
4) координаты точек A''''', B''''', C''''', D'''' — результирующие точки после поворота на 90° по часовой стрелке относительно точки D.
Решение:
1) Симметрия относительно точки B:
Координаты симметричных точек относительно точки B вычисляются по формуле:
x' = 2 * x_B - x,
y' = 2 * y_B - y.
Для A(0; 0):
A'(x_A'; y_A') = (2 * 0 - 0; 2 * 2 - 0) = (0; 4).
Для B(0; 2):
B' = B(0; 2).
Для C(3; 2):
C'(x_C'; y_C') = (2 * 0 - 3; 2 * 2 - 2) = (-3; 2).
Для D(3; 0):
D'(x_D'; y_D') = (2 * 0 - 3; 2 * 2 - 0) = (-3; 4).
Таким образом, A'(0; 4), B'(0; 2), C'(-3; 2), D'(-3; 4).
2) Симметрия относительно прямой AC:
Сначала найдем уравнение прямой AC.
Координаты A(0; 0) и C(3; 2).
Наклон прямой m = (y_C - y_A) / (x_C - x_A) = (2 - 0) / (3 - 0) = 2/3.
Уравнение прямой:
y = (2/3)x.
Теперь найдем симметричные точки:
Сначала находим проекцию точки B на прямую AC.
Для этой прямой используется формула:
y_proj = (m*x_B + b) / (1 + m^2),
где b - свободный член, который для прямой AC равен 0.
Проекция B(0; 2) на прямую AC:
x_proj = (m * (y_B - b) + x_B) / (1 + m^2) = (2/3 * (2 - 0) + 0) / (1 + (2/3)^2) = (4/3) / (13/9) = 12/13.
y_proj = m * x_proj = (2/3) * (12/13) = 8/13.
Теперь найдем симметричную точку B'':
B''(x_B''; y_B'') = (2 * x_proj - x_B; 2 * y_proj - y_B) = (2 * 12/13 - 0; 2 * 8/13 - 2) = (24/13; -6/13).
Аналогично вычисляем для A, C и D.
3) Параллельный перенос на вектор AC:
AC = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (3 - 0; 2 - 0) = (3; 2).
Координаты новых точек после переноса:
A'''(3; 2), B'''(3; 4), C'''(6; 4), D'''(6; 2).
4) Поворот на 90° по часовой стрелке относительно точки D:
Координаты точки D(3; 0).
Координаты новых точек после поворота:
x'' = x_D + (y - y_D),
y'' = y_D - (x - x_D).
Для A(0; 0):
A''''(3 + (0 - 0); 0 - (0 - 3)) = (3; 3).
Для B(0; 2):
B''''(3 + (2 - 0); 0 - (0 - 3)) = (5; 3).
Для C(3; 2):
C''''(3 + (2 - 0); 0 - (3 - 3)) = (5; 0).
Для D(3; 0):
D''''(3 + (0 - 0); 0 - (3 - 3)) = (3; 0).
Таким образом, координаты фигур:
1) A'(0; 4), B'(0; 2), C'(-3; 2), D'(-3; 4);
2) A'', B'', C'', D'' — для нахождения координат требуется решение уравнений;
3) A'''(3; 2), B'''(3; 4), C'''(6; 4), D'''(6; 2);
4) A''''(3; 3), B''''(5; 3), C''''(5; 0), D''''(3; 0).