Дано:
Радиус основания конуса r = 14,
Угол между образующей и высотой α = 30°.
Найти:
Высоту конуса h.
Решение:
Пусть l - образующая конуса, h - высота конуса. Тогда, так как угол между образующей и высотой равен 30°, мы можем записать:
tg(30°) = h/l = h/(√(r^2 + h^2)).
Из условия дано, что радиус основания конуса r = 14. Подставим известные значения:
tg(30°) = h/√(14^2 + h^2).
tg(30°) = 1/sqrt(3).
Так как tg(30°) = 1/sqrt(3), то у нас получается следующее уравнение:
1/sqrt(3) = h/√(14^2 + h^2).
Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знаменателя:
(1/sqrt(3))^2 = (h/√(14^2 + h^2))^2,
1/3 = h^2 / (14^2 + h^2).
Далее, раскрываем квадрат справа:
1/3 = h^2 / (196 + h^2).
Умножаем обе части уравнения на знаменатель:
196 + h^2 = 3h^2,
196 = 2h^2,
98 = h^2,
h = √98.
Ответ:
Высота конуса h = √98.