Дано:
Образующая конуса: l = 10,
Угол между образующей и высотой: α = 30°.
Найти:
Высоту конуса.
Решение:
В прямоугольном треугольнике, образованном образующей, высотой и радиусом основания конуса, угол между образующей и высотой равен 30°. Таким образом, тангенс этого угла равен отношению высоты к радиусу:
tg(30°) = h / r.
Также из свойств прямоугольного треугольника следует, что:
l^2 = h^2 + r^2.
Из условия задачи l = 10, а угол между образующей и высотой равен 30°, следует, что тангенс 30° равен √3 / 3. Подставим это в первое уравнение:
√3 / 3 = h / r.
Теперь можно найти соотношение между h и r из данных уравнений:
h = (√3 / 3) * r,
l^2 = h^2 + r^2,
100 = (3/4) * r^2 + r^2,
100 = (7/4) * r^2.
Отсюда находим радиус основания конуса:
r = 20 / √7.
Далее, выразим высоту через радиус:
h = (√3 / 3) * (20 / √7) = 20√21 / 7.
Ответ:
Высота конуса равна 20√21 / 7.