Дано:
1) CD = 8√6, ∠CAB = 45°, ∠D = 60°;
2) ∠B = 120°;
3) AC = 8, BC = 6, AD = 10, ∠CAD = 45°.
Найти:
1) Диагональ AC при заданных углах;
2) Диагональ AC при угле B = 120°;
3) Площадь трапеции.
Решение:
1) Используем закон синусов в треугольнике ABC:
AC / sin∠CAB = BC / sin∠ACB,
AC / sin 45° = 6 / sin∠ACB,
AC / (sqrt(2)/2) = 6 / sqrt(3)/2,
AC = 6sqrt(2) * sqrt(3) = 6sqrt(6).
2) При угле B = 120°, трапеция является равнобедренной. Тогда AC будет равно BC = 6.
3) Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (AD + BC) * h / 2.
Где h - высота трапеции.
Высоту найдем как проекцию стороны AD на CD:
h = AD * sin∠CAD = 10 * sin 45° = 10 * sqrt(2) / 2 = 5sqrt(2).
Теперь подставим известные значения и найдем площадь:
S = (10 + 6) * 5sqrt(2) / 2 = 16 * 5sqrt(2) / 2 = 40sqrt(2).
Ответ:
1) Диагональ AC при углах ∠CAB = 45° и ∠D = 60° равна 6sqrt(6).
2) Диагональ AC при угле B = 120° также равна 6.
3) Площадь трапеции равна 40sqrt(2).