Дано:
Площадь круга S = 36π.
Найти:
Длину хорды BC, если ∠B = 30°.
Решение:
1. Для нахождения радиуса круга используем формулу для площади круга:
S = πr².
Подставляем известное значение:
36π = πr².
2. Упростим уравнение, разделив обе стороны на π:
36 = r².
3. Извлекаем квадратный корень:
r = √36 = 6.
Таким образом, радиус круга равен 6.
4. Диаметр AB равен 2r:
AB = 2 * 6 = 12.
5. В треугольнике ABC угол ∠B = 30°. Теперь найдем длину хорды BC, используя формулу для длины хорды:
BC = 2r * sin(∠B/2).
6. Подставим значения:
BC = 2 * 6 * sin(30°/2).
7. Упрощаем:
BC = 12 * sin(15°).
8. Найдем значение sin(15°). Используя формулу разности синусов:
sin(15°) = sin(45° - 30°) = sin(45°)cos(30°) - cos(45°)sin(30°).
9. Подставим известные значения:
sin(45°) = √2/2,
cos(30°) = √3/2,
cos(45°) = √2/2,
sin(30°) = 1/2.
Тогда:
sin(15°) = (√2/2 * √3/2) - (√2/2 * 1/2) = (√6/4) - (√2/4) = (√6 - √2)/4.
10. Теперь подставим sin(15°) в формулу для BC:
BC = 12 * (√6 - √2)/4 = 3(√6 - √2).
Ответ:
Длина хорды BC равна 3(√6 - √2).