Дано:
Площадь параллелограмма S = 9√3 см²,
длина стороны BC = 3 см,
угол ∠B = 60°.
Найти:
Длину диагонали AC.
Решение:
Площадь параллелограмма можно выразить через основание и высоту:
S = a * h,
где a — длина основания (в данном случае BC), h — высота, проведенная к основанию.
Сначала найдем высоту h, используя известные значения:
h = S / a = (9√3) / 3 = 3√3 см.
Теперь, используя угол ∠B, найдем длину стороны AB (a). Для этого воспользуемся формулой:
h = a * sin(∠B).
Подставим известные значения:
3√3 = a * sin(60°).
Значение sin(60°) равно √3 / 2. Подставим это в уравнение:
3√3 = a * (√3 / 2).
Умножим обе стороны на 2:
6√3 = a * √3.
Теперь разделим обе стороны на √3:
a = 6 см.
Теперь у нас есть две стороны параллелограмма: AB = 6 см и BC = 3 см. Найдем длину диагонали AC, используя теорему косинусов:
AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(∠B).
Подставим известные значения:
AC² = 6² + 3² - 2 * 6 * 3 * cos(60°).
Значение cos(60°) равно 1/2. Подставим это в уравнение:
AC² = 36 + 9 - 2 * 6 * 3 * (1/2) = 36 + 9 - 18 = 27.
Теперь найдем длину AC:
AC = √27 = 3√3 см.
Ответ:
Длина диагонали AC = 3√3 см.