Дано:
Площадь параллелограмма S = 6√3 см², AB = 6 см, ∠D = 60°.
Найти:
Длину диагонали AC.
Решение:
1. Площадь параллелограмма можно выразить через основание и высоту. Площадь S равна произведению основания AB на высоту h:
S = AB * h.
2. Подставим известные значения:
6√3 = 6 * h.
3. Найдем высоту h:
h = (6√3) / 6 = √3 см.
4. В параллелограмме ABCD угол D равен 60°. Мы можем найти длину стороны AD (которая является высотой) с помощью синуса угла:
AD = AB * sin(∠D).
5. Подставим известные значения:
AD = 6 * sin(60°).
6. Зная, что sin(60°) = √3 / 2, вычислим:
AD = 6 * (√3 / 2) = 3√3 см.
7. Теперь найдем длину диагонали AC. В треугольнике ABC используем теорему косинусов.
Сначала найдем длину стороны BC. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, BC = AD = 3√3 см.
8. Применим теорему косинусов для треугольника ABC:
AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(∠D).
9. Подставим известные значения:
AC² = 6² + (3√3)² - 2 * 6 * (3√3) * cos(60°).
10. Зная, что cos(60°) = 1/2, подставим это значение:
AC² = 36 + 27 - 2 * 6 * (3√3) * (1/2).
11. Упростим:
AC² = 36 + 27 - 18√3.
12. Посчитаем:
AC² = 63 - 18√3.
13. Теперь найдем длину диагонали AC:
AC = √(63 - 18√3).
Ответ:
Длина диагонали AC равна √(63 - 18√3) см.