дано:
основание треугольника ABC (AC) = 12,
боковая сторона AB = BC = 10.
найти:
площадь треугольника OMB.
решение:
1. Сначала найдем высоту h равнобедренного треугольника ABC, проведённую из вершины A на основание BC. Обозначим точки касания окружности с боковыми сторонами как M и K.
2. Проведем перпендикуляр от точки A к основанию BC. Поскольку треугольник равнобедренный, это перпендикуляр делит основание пополам. Таким образом, длина отрезка BM будет равна 6 (половина основания).
3. В треугольнике ABM применим теорему Пифагора:
AB^2 = AM^2 + BM^2,
где AB = 10, BM = 6, AM - это высота h.
Подставим известные значения:
10^2 = h^2 + 6^2,
100 = h^2 + 36,
h^2 = 100 - 36 = 64,
h = sqrt(64) = 8.
4. Теперь мы знаем, что высота h равнобедренного треугольника ABC равна 8.
5. Теперь определим радиус r вписанной окружности. Радиус можно найти по формуле:
r = S / p,
где S – площадь треугольника, p – полупериметр.
6. Для начала найдем полупериметр p треугольника ABC:
p = (AB + BC + AC) / 2 = (10 + 10 + 12) / 2 = 16.
7. Далее найдем площадь треугольника ABC:
S = (1/2) * AC * h = (1/2) * 12 * 8 = 48.
8. Теперь подставим значения в формулу для радиуса:
r = S / p = 48 / 16 = 3.
9. Теперь найдем координаты точек O, M и B. Точка O будет находиться на высоте h от основания и находится ровно по центру, то есть на расстоянии 6 от каждого конца основания. Линия OM в треугольнике OMB будет равна радиусу r = 3.
10. Площадь треугольника OMB можно найти по формуле:
S_OMB = (1/2) * BM * OM = (1/2) * 6 * 3 = 9.
ответ:
площадь треугольника OMB составляет 9 м².