Дано:
- AB = 12 м
- AC = 15 м
- S(ABM) = 20 м²
Найти:
- высоту BH треугольника ABC.
Решение:
1. Обозначим BM = x, тогда AM будет делить BC на отрезки BM и MC пропорционально сторонам AB и AC:
BM / MC = AB / AC = 12 / 15 = 4 / 5.
2. Обозначим MC = 5k, тогда BM = 4k. Сумма BM и MC равна BC:
BC = BM + MC = 4k + 5k = 9k.
3. Площадь треугольника ABM можно выразить через основание BM и высоту BH:
S(ABM) = (1/2) * BM * BH.
4. Подставим известные значения:
20 = (1/2) * 4k * BH,
20 = 2k * BH,
BH = 20 / (2k) = 10 / k.
5. Площадь треугольника ABC можно выразить через сторону AC и высоту BH:
S(ABC) = (1/2) * AC * BH = (1/2) * 15 * BH.
6. Площадь треугольника ABC также равна сумме площадей треугольников ABM и ACM:
S(ABC) = S(ABM) + S(ACM).
7. Найдем S(ACM):
S(ACM) = S(ABC) - S(ABM).
8. Сначала выразим S(ABC):
S(ABC) = (1/2) * AC * BH = (1/2) * 15 * BH.
9. Площадь S(ABM) известна:
S(ABM) = 20 м².
10. Таким образом:
S(ABC) = 20 + S(ACM).
11. Площадь треугольника ACM можно выразить через BM и высоту BH:
S(ACM) = (1/2) * MC * BH = (1/2) * 5k * BH.
12. Сравнивая площади, имеем:
(1/2) * 15 * BH = 20 + (1/2) * 5k * BH.
13. Упростим уравнение:
15BH = 40 + 5kBH.
14. Переносим все с BH в одну сторону:
15BH - 5kBH = 40,
BH(15 - 5k) = 40.
15. Находим k через BM и MC:
k = x / 9, где x = BC.
16. Площадь треугольника ABC выражается как:
S(ABC) = (1/2) * 9k * BH.
17. Подставляем значение k и выражаем BH:
15BH = 40 + (5/9) * 9BH,
15BH = 40 + 5BH.
18. Упрощаем:
10BH = 40,
BH = 4 м.
Ответ:
Высота BH треугольника ABC равна 4 м.