Дано:
AM = 24
BK = 10
Найти:
Сторону AB параллелограмма ABCD
Решение:
В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и B пересекают стороны BC и AD в точках M и K соответственно. Поскольку ABCD — параллелограмм, то стороны AB и CD равны, а стороны AD и BC также равны.
По теореме о биссектрисе, справедливой для параллелограмма, мы имеем:
AM / MB = AB / AD
BK / KD = AB / BC.
Обозначим сторону AB как x и сторону AD как y. Учитывая, что AB = CD и AD = BC, мы можем записать соотношения:
1) AM + MB = AB => MB = x - 24
2) BK + KD = AD => KD = y - 10
Поскольку AB // CD и AD // BC, то можно также записать следующее соотношение по отношению к сторонам параллелограмма:
AM / MB = x / y
BK / KD = x / y.
Теперь подставим значения:
24 / (x - 24) = x / y
10 / (y - 10) = x / y.
Из первого уравнения выразим y:
24y = x(x - 24)
y = (x^2 - 24x) / 24.
Из второго уравнения выразим y:
10y = x(y - 10)
10y = xy - 10x
y = (10x) / (x - 10).
Теперь приравняем два выражения для y:
(x^2 - 24x) / 24 = 10x / (x - 10).
Умножаем обе стороны на 24(x - 10):
(x^2 - 24x)(x - 10) = 240x.
Раскроем скобки:
x^3 - 10x^2 - 24x^2 + 240x = 0
x^3 - 34x^2 + 240x = 0.
Вынесем x за скобку:
x(x^2 - 34x + 240) = 0.
Приравняв к нулю, получим:
x^2 - 34x + 240 = 0.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 * 1 * 240 = 1156 - 960 = 196.
Теперь найдем корни уравнения:
x = (34 ± √196) / 2
x = (34 ± 14) / 2.
Находим два возможных значения для x:
x1 = (48) / 2 = 24
x2 = (20) / 2 = 10.
Поскольку сторона AB должна быть больше, чем длина отрезка AM (24), выбираем:
AB = 24.
Ответ:
Сторона AB = 24.